证明切线方程需要使用微积分的基本定理，即导数的定义。
具体步骤如下：假设有一个函数 $f(x)$，在点 $x_0$ 处可导，即 $f'(x_0)$ 存在。我们需要证明该点处的切线方程为 $y = f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0)$。首先，我们可以通过导数的定义来计算 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处的斜率：$$f'(x_0) = \lim_{ho 0} \frac{f(x_0 + f(x_0) - f(x_0 + h))}{h}$$接下来，我们将点 $x_0$ 带入切线方程 $y = f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0)$ 中，得到：$$y = f(x_0) + f'(x_0)(x_0 - x_0) = f(x_0)$$这是因为 $x_0 - x_0 = 0$。现在，我们需要证明当 $x$ 趋近于 $x_0$ 时，切线方程 $y = f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0)$ 也能够准确地描述曲线 $y = f(x)$ 在点 $x_0$ 处的切线。我们可以将 $y = f(x)$ 在点 $x_0$ 处的曲线近似为一条直线，即：$$y \approx f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0)$$当 $x$ 趋近于 $x_0$ 时，$x-x_0$ 趋近于 $0$，因此：$$y \approx f(x_0)$$这意味着当 $x$ 趋近于 $x_0$ 时，切线方程 $y = f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0)$ 能够准确地描述曲线 $y = f(x)$ 在点 $x_0$ 处的切线。因此，我们证明了切线方程 $y = f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0)$ 的正确性。
