在1、0交替出现且以1打头和结尾的所有整数（101，10101，10101…）中有多

题目内容：

在1、0交替出现且以1打头和结尾的所有整数（101，10101，10101…）中有多少个质数？为什么？并求出所有质数．

正确答案：

为便于表示，设X（n）=1010…101，其中0的个数等于n．即X（1）=101，X（2）=10101，等等．

再设Y（n）=111…1，其中1的个数等于n．即Y（1）=1，Y（2）=11，Y（4）=1111，等等

易得X（n）×11=Y（2n+2）

现分奇偶讨论，当n为大于1的奇数时，设n=2k+1，则X（n）×11=Y（2n+2）=Y（4k+4）

此时有1111|Y（4k+4）成立，可设1111m=Y（4k+4），

则1111m=X（n）×11，X（n）=101m，由于n＞1时，m＞1，因此X（n）为合数．

当n为偶数时，X（n）×11=Y（2n+2），由于Y（n+1）|Y（2n+2），可设Y（n+1）×m=Y（2n+2）

由于n+1是奇数，所以Y（n+1）≡1（mod 11），即11不整除Y（n+1），而11又是Y（2n+2）的因数，所以必有11|m，设m=11p

则有X（n）×11=Y（2n+2）=Y（n+1）×11p，即X（n）=Y（n+1）×p，X（n）为合数．

综上，只有101是这样的数中的唯一的质数．

考点核心：

有理数的定义：有理数是整数和分数的统称，一切有理数都可以化成分数的形式。