若n是质数，且分数n-4n+17不约分或经过约分后是一个最简分数的平方，则n=___

题目内容：

若n是质数，且分数n-4n+17不约分或经过约分后是一个最简分数的平方，则n=______或

______．

正确答案：

根据题意可设n+17=ka²…①，n-4=kb²，…②，最简分数的平方就是：

kb2ka2=（ba）²，两式相减，得k（a²-b²）=21，

k（a+b）（a-b）=1×3×7

可知，质数n必定大于4，否则n-4将小于0，所以n是奇质数，则n-4为奇数，n+17为偶数．可知a+b＞a-b，所以

①若n-4n+17是最简分数，则有

k=1，

a+b=7，

a-b=3，

解得：a=5，b=2，此时n-4=4，为偶数，不符；

或者：k=1，

a+b=21，

a-b=1，

解得：a=11，b=10，此时n-4=100，为偶数，不符；

②所以n-4n+17不是最简分数，则有

k=3，

a+b=7，

a-b=1，

解得：a=4，b=3，此时n=31，n-4=27，n+17=48，

n-4n+17=2748=916=（34）²，符合要求；

或者：k=7，

a+b=3，

a-b=1，

解得：a=2，b=1，此时n=11，n-4=7，n+17=28，

n-4n+17=728=14=（12）²，符合要求．

综上所述，n的值为31和11．

故答案为：31或11．

答案解析：

kb2ka2

考点核心：

有理数的定义：有理数是整数和分数的统称，一切有理数都可以化成分数的形式。