在线性空间V中给出两个有限向量组：
1.a1，a2，…，at,;
2.b1，b2:，…，bs.
若向量组1线性无关，并且向量组1可由向量组2线性表示，则t<=s,而且适当调整{b1，b2:，…，bs.}次序，使得用a1，a2，…，at替换b1，b2:，…，bs.得的向量组后，所得到的向量与向量组2等价，此即替换定理。
(其中a1，a2，at, b1，b2:，bs中的数字1、2 以及字母t、s为下角标)
可由向量组
线性表示,则m簇t，并且可从
与向量组(2)等价。
上述定理通常称为替换定理。
设向量组(2)的极大无关组为
显然r≤t，由于(1)可由(2)线性表示，故(4)也是
的一个极大无关组，又因
线性无关，故m≤r，又r≤t，从而m≤t。
因(5)的秩为r，显然m≤r，适当选择
由于(4)，(7)均为(5)的极大无关组，故(4)与(7)等价，故(7)是(2)的极大无关组，从(2)中
之外选取
显然，
（8）和
（2）等价。
由题设
若m>t，则
必有非零解
下证第二部分，设向量组(2)的秩为r，不防设
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